Задача 57953

Тема:    [ Поворот (прочее) ]

Сложность: 6+ Классы: 9

Условие

Докажите, что три прямые, симметричные произвольной прямой, проходящей через точку пересечения высот треугольника, относительно сторон треугольника, пересекаются в одной точке.

Решение

Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC, H₁, H₂ и H₃ — точки, симметричные точке H относительно сторон BC, CA и AB. Точки H₁, H₂ и H₃ лежат на описанной окружности треугольника ABC (задача 5.9). Пусть l -- прямая, проходящая через точку H. Прямая, симметричная прямой l относительно стороны BC (соответственно CA и AB), пересекает описанную окружность в точке H₁ (соответственно H₂ и H₃) и в некоторой точке P₁ (соответственно P₂ и P₃).
Рассмотрим какую-нибудь другую прямую l', проходящую через H. Пусть  — угол между l и l'. Построим для прямой l' точки P₁', P₂' и P₃' тем же способом, каким были построены для прямой l точки P₁, P₂ и P₃. Тогда P_iH_iP_i' = , т. е. величина дуги P_iP_i' равна 2 (поворот от P_i и P_i' противоположен по направлению повороту от l и l'). Поэтому точки P₁', P₂' и P₃' являются образами точек P₁, P₂ и P₃ при некотором повороте. Ясно, что если в качестве l' выбрать высоту треугольника, опущенную из вершины A, то P₁' = P₂' = P₃' = A, а значит, P₁ = P₂ = P₃.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	18
Название	Поворот
Тема	Поворот
параграф
Номер	3
Название	Повороты на произвольные углы
Тема	Поворот (прочее)
задача
Номер	18.031