Условие
Докажите, что для любого тринадцатиугольника
найдется прямая, содержащая ровно одну его сторону, однако
при любом
n > 13 существует
n-угольник, для которого это неверно.
Решение
Предположим, что существует тринадцатиугольник, у которого на любой
прямой, содержащей сторону, есть еще хотя бы одна сторона. Проведем
через все стороны этого тринадцатиугольника прямые. Так как у него
тринадцать сторон, то на одной из них лежит нечетное число сторон,
т. е. на одной прямой лежат по крайней мере три стороны. У них есть 6
вершин и через каждую вершину проходит прямая, на которой лежат по
крайней мере две стороны. Поэтому всего у этого тринадцатиугольника
не менее
3 + 2
. 6 = 15 сторон, чего не может быть.
Для четного
n
10 требуемый пример — контур к звездык
(рис.,
а); идея построения примера для нечетного
n показана на
рис.,
б).
Источники и прецеденты использования
