Задача 58371

Тема:    [ Аффинные преобразования и их свойства ]

Сложность: 6 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что если аффинное преобразование переводит некоторую окружность в себя, то оно является либо поворотом, либо симметрией.

Решение

Докажем сначала, что аффинное преобразование L, переводящее данную окружность в себя, переводит диаметрально противоположные точки в диаметрально противоположные. Для этого заметим, что касательная к окружности в точке A переходит в прямую, которая в силу взаимной однозначности преобразования L пересекается с окружностью в единственной точке L(A), т. е. является касательной в точке L(A). Поэтому если касательные в точках A и B параллельны (т. е. AB — диаметр), то касательные в точках L(A) и L(B) тоже параллельны, т. е. L(A)L(B) — тоже диаметр.
Фиксируем какой-нибудь диаметр AB данной окружности. Поскольку L(A)L(B) — тоже диаметр, то существует движение P, являющееся поворотом или симметрией, которое переводит A и B в L(A) и L(B), а каждую из дуг  и , на которые точки A и B делят данную окружность, — в образ этой дуги при отображении L.
Докажем, что отображение F = P^-1oL является тождественным. В самом деле, F(A) = A и F(B) = B, следовательно, все точки прямой AB остаются неподвижными. Поэтому если X — произвольная точка окружности, то касательная в точке X пересекает прямую AB там же, где и касательная в точке X' = F(X), так как точка пересечения остается неподвижной. А поскольку X и X' лежат на одной и той же из двух дуг  или , то точка X совпадает с точкой X'. Итак, P^-1oL — тождественное преобразование, т. е. L = P.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	29
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинная геометрия
параграф
Номер	1
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинные преобразования и их свойства
задача
Номер	29.010