Задача 58392

Тема:    [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Условие

а) Докажите, что все окружности и прямые задаются уравнениями вида

Az + cz + + D = 0,

где A и D — вещественные числа, а c — комплексное число. Наоборот, докажите, что любое уравнение такого вида задает либо окружность, либо прямую, либо точку, либо пустое множество.
б) Докажите, что при инверсии окружности и прямые переходят в окружности и прямые.

Решение

а) Окружности и прямые задаются уравнениями

A(x² + y²) + Bx + Cy + D = 0.

с вещественными коэффициентами A, B, C, D (при A = 0 такое уравнение задает прямую, а при A 0 — окружность, точку или пустое множество). Наоборот, любое такое уравнение задает либо окружность, либо прямую, либо точку, либо пустое множество. Но z = x + iy, поэтому x² + y² = z и Bx + Cy = cz + , где c = (B - Ci)/2.
б) Образом числа z при инверсии с центром в нуле и степенью 1 является число w = 1/. Поделив уравнение из задачи а) на z, получим, что если w — образ точки z при этой инверсии, то

Dw + cw + + A = 0,

т. е. число w удовлетворяет уравнению того же вида.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	29
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинная геометрия
параграф
Номер	3
Название	Комплексные числа
Тема	Связь величины угла с длиной дуги и хорды
задача
Номер	29.025