Условие
Дано 51 различное двузначное число
(однозначные числа считаем двузначными с первой цифрой 0).
Докажите, что из них можно выбрать 6 таких чисел, что никакие
2 из них не имеют одинаковых цифр ни в одном разряде.
Решение
Расположим данные числа в порядке возрастания и
разобьем их на группы по цифре десятков. Поскольку всего чисел 51, а в каждой группе не больше 10 чисел, то количество
m таких групп
удовлетворяет условиям 6 ≤
m ≤ 10. Среди
m групп найдется
группа
A6, в которой не менее 6-ти чисел. Аналогично
(методом от противного) устанавливается существование среди оставшихся групп
A5 (в которой не менее 5 чисел),
A4, ...,
A1. Первое число возьмем из
A1. Второе — из
A2, так чтобы цифра единиц отличалась от цифры единиц первого числа, и т. д. — в результате получим 6 чисел с различными цифрами десятков и различными цифрами единиц.
Источники и прецеденты использования
