Задача 60620
|
Название задачи: Теорема Валена. |
 |
Условие
Докажите, что если Pn/Qn (n ≥ 1) – подходящая дробь к числу α, то имеет место по крайней мере одно из неравенств или
Получите отсюда теорему Валена: для любого α найдётся бесконечно много таких дробей p/q, что |α – p/q| < 1/2q2.
Решение
Разберём случай чётного n (тогда Pn/Qn ≤ α < Pn–1/Qn–1). Пусть и
Тогда
(неравенство Коши строгое, поскольку Qn ≠ Qn–1). Противоречие.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 3 |
| Название | Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики |
| Тема | Алгебра и арифметика |
| параграф | |
| Номер | 5 |
| Название | Цепные дроби |
| Тема | Цепные (непрерывные) дроби |
| задача | |
| Номер | 03.168 |
