Задача 60969

Темы:    [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ] [ Теорема Безу. Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Найдите остаток от деления многочлена  P(x) = x⁸¹ + x²⁷ + x⁹ + x³ + x  на
  a)  x – 1;
  б)  x² – 1.

Решение

  a)  P(1) = 5.

  б) Первый способ. Пусть  P(x) = (x² – 1)Q(x) + ax + b.  Подставив  x = –1,  получим  b – a = – 5;  подставив  x = 1,  получим  a + b = 5.
Отсюда  b = 0,  a = 5.
  Второй способ.  P(x) = x(x⁸⁰ + x²⁶ + x⁸ + x² + 1).  При замене  t = x²  второй множитель превращается вногочлен  Q(t) = t⁴⁰ + t¹³ + t⁴ + t + 1,  который при делении на  t – 1  даёт остаток  Q(1) = 5.  Значит, P(x) при делении на  x² – 1  даёт остаток x·5.

Ответ

a) 5;   б) 5x.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	2
Название	Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу.
Тема	Теорема Безу. Разложение на множители
задача
Номер	06.046