Задача 60993

Темы:    [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Алгоритм Евклида ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Последовательность a₀, a₁, a₂, ... задана условиями  a₀ = 0,  a_n+1 = P(a_n)  (n ≥ 0),  где P(x) – многочлен с целыми коэффициентами,  P(x) > 0  при  x ≥ 0.
Докажите, что для любых натуральных m и k  (a_m, a_k) = a_{(m, k)}.

Решение

  Пусть Q – многочлен с целыми коэффициентами, a – целое число. Тогда  (Q(a), a) = (Q(0), a).
  Пусть  m > k.  Положим    Тогда   (a_m, a_k) = (Q(a_k), a_k) = (Q(0), a_k) = (a_m-k, a_k).
  Применяя алгоритм Евклида, получаем отсюда, что  (a_m, a_k) = a_{(m, k).}

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	2
Название	Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу.
Тема	Теорема Безу. Разложение на множители
задача
Номер	06.070