Информация о задаче

Задача 61230

Темы:	[	Обратные тригонометрические функции	]
Темы:	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]

Сложность: 2+
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Докажите равенство:

arctg x + arctg y = arctg $\displaystyle {\frac{x+y}{1-xy}}$ + $\displaystyle \varepsilon$ $\displaystyle \pi$ ,

где $\varepsilon$ = 0, если xy < 1, $\varepsilon$ = - 1 , если xy > 1 и x < 0, $\varepsilon$ = + 1, если xy > 1 и x > 0.

Решение

Прежде всего нетрудно показать, что величины arctg x + arctg y и arctg ${\dfrac{x+y}{1-xy}}$ отличаются друг от друга на $\varepsilon$ $\pi$ , где $\varepsilon$ — целое число. Действительно,

tg $\displaystyle \left(\vphantom{\hbox{\rm arctg\ }x+\hbox{\rm arctg\ } y}\right.$ arctg x + arctg y $\displaystyle \left.\vphantom{\hbox{\rm arctg\ }x+\hbox{\rm arctg\ } y}\right)$ = $\displaystyle {\dfrac{x+y}{1-xy}}$ = tg $\displaystyle {\dfrac{x+y}{1-xy}}$ .

Так как

- $\displaystyle \pi$ $\displaystyle \leqslant$ arctg x + arctg y $\displaystyle \leqslant$ $\displaystyle \pi$ ,

то $\varepsilon$ может принимать лишь три значения 0 и ±1. Для нахождения $\varepsilon$ рассмотрите косинусы левой и правой частей исходного равенства.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	8
Название	Алгебра + геометрия
Тема	Неопределено
параграф
Номер	3
Название	Тригонометрия
Тема	Тригонометрия (прочее)
задача
Номер	08.069