|
|
 |
Условие
По кругу расставлено 2n действительных чисел, сумма которых положительна. Для каждого из них рассмотрим обе группы из n подряд стоящих чисел, в которых это число является крайним. Докажите, что найдётся число, для которого сумма чисел в каждой из двух таких групп положительна.
Решение
Данные числа занумеруем в порядке обхода по часовой стрелке: a1, a2, ..., a2n; обозначим через S > 0 сумму всех чисел и положим
Si = ai + ai+1 + ... + ai+n–1 (все индексы рассматриваются по модулю 2n, так что a2n+i = ai и S2n+i = Si). Нам надо доказать, что при некотором i обе суммы Si и Si–n+1 положительны. Заметим, что Si + Sn+i = S > 0, так что среди чисел Si есть положительные.
Если все суммы Si положительны, то любой индекс i подходит. В противном случае найдётся такой индекс i, что Si > 0, а Si+1 ≤ 0. Тогда
Si–n+1 = S – Si+1 > 0, и индекс i – искомый.
