|
|
 |
Условие
Петя и Вася придумали десять квадратных трёхчленов. Затем Вася по очереди называл последовательные натуральные числа (начиная с некоторого), а Петя каждое названное число подставлял в один из трёхчленов по своему выбору
и записывал полученные значения на доску слева направо. Оказалось, что числа, записанные на доске, образуют арифметическую прогрессию (именно в этом порядке).
Какое максимальное количество чисел Вася мог назвать?
Решение
Оценка. В каждый трёхчлен P(x) Петя мог подставить не более двух чисел. Действительно, пусть n-й
член получившейся арифметической прогрессии равен an + b, а n-е из Васиных последовательных чисел равно k + n. Если Петя подставил это число в P(x), то P(k + n) = an + b, а это квадратное уравнение относительно n имеет не более двух корней. Поэтому всего чисел не могло быть больше 20.
Пример. Пусть были выбраны трёхчлены Pk(x) = (x – 2k + 1)(x – 2k) + x при k = 1, 2, ..., 10, и Вася называл числа 1, 2, ..., 20. Так как Pk(2k – 1) = 2k – 1 и Pk(2k) = 2k, то у Пети могли получиться последовательно числа 1, 2, ..., 20.
Ответ
20 чисел.
