Задача 64462

Темы:    [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Швецов Д.В.

Пусть BD – биссектриса треугольника ABC. Точки I_a, I_c – центры вписанных окружностей треугольников ABD, CBD. Прямая I_aI_c пересекает прямую AC в точке Q. Докажите, что  ∠DBQ = 90°.

Решение

Прямые AI_a и CI_c пересекаются в центре I вписанной окружности треугольника ABC. При этом  AI_a : I_aI = AD : ID, CI_c : I_cI = CD : ID.  По теореме Менелая     Следовательно, BQ – внешняя биссектриса угла B, что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2013
год
Год	2013
задача
Номер	7