Задача 64613

Темы:    [ Многочлены (прочее) ] [ Производная (прочее) ] [ Средние величины ] [ Теорема Виета ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Автор: Мурашкин М.В.

Многочлен степени  n > 1  имеет n разных корней х₁, х₂, ..., х_n. Его производная имеет корни y₁, y₂, ..., y_n–1.
Докажите неравенство  

Решение

  Можно считать, что наш многочлен приведённый:  P(x) = xⁿ – a₁x^n–1 + a₂x^n–2 + ...  По формулам Виета  x₁ + ... + x_n = a₁,  x₁x₂ + x₁x₃ + ... + x_n–1x_n = a₂,  откуда  
  Поскольку  P'(x) = nx^n–1 – (n – 1)a₁x^n–2 + (n – 2)a₂x^n–3 + ...,  аналогично получаем:  
 

 

  После подстановки полученного выражения в правую часть исходного неравенства, умножения на  n – 1  и приведения подобных членов оно превратится в известное неравенство между средним квадратичным и средним арифметическим (для неравных чисел; см. задачу 61402 б).

Замечания

1. 6 баллов.

2. Задача также предлагалась в Задачнике "Кванта" ("Квант", 2008, №6, зад. М2113).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	29
Дата	2007/2008
вариант
Вариант	весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер	3