|
|
 |
Условие
В четырёхугольнике ABCD стороны AD и BC параллельны.
Докажите, что если биссектрисы углов DAC, DBC, ACB и ADB образовали ромб, то AB = CD.
Решение 1
Пусть O – точка пересечения диагоналей AC и BD (см. рис). Биссектрисы углов ADB и DAC пересекаются в центре O1 вписанной окружности треугольника AOD, а биссектрисы углов ACB и DBC – в центре O2 вписанной окружности треугольника BOC. Значит, точки O1 и O2 лежат на общей биссектрисе вертикальных углов AOD и BOC.
Рассмотрим ромб PO1QO2 из условия задачи. В нём ∠PO1O2 = ∠QO1O2, а значит, ∠DO1O = ∠AO1O. Следовательно, треугольники AOO1 и DOO1 равны по стороне (O1O – общая) и двум прилежащим углам, откуда AO = DO. Отсюда ∠OAD = ∠ODA, и четырёхугольник ABCD симметричен относительно серединного перпендикуляра к AD. Поэтому AB = CD.
Решение 2
Обозначим вершины ромба через P, O1, Q, O2, как и в решении 1. Расстояние между прямыми O2P и O1Q равно расстоянию между прямыми O1P и O2Q, то есть AC sin(½∠CAD) = BD sin(½∠BDA).
Так как вершины B и C равноудалены от прямой AD, имеем AC sin ∠CAD = BD sin∠BDA.
Деля второе полученное равенство на первое, получаем cos(½∠CAD) = cos(½∠BDA).
Так как оба угла CAD и BDA меньше 180°, получаем, что ∠CAD = ∠BDA. Как и в решении 1, заключаем, что AB = CD.
