Задача 64695

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 6,7

Условие

Автор: Шаповалов А.В.

Два угла прямоугольного листа бумаги согнули так, как показано на рисунке. Противоположная сторона при этом оказалась разделённой на три равные части. Докажите, что закрашенный треугольник – равносторонний.

Решение

Введём обозначения так, как показано на рисунке.

Треугольник AB'O получился перегибанием из треугольника ABO, значит, эти треугольники равны. Следовательно,  ∠AOB = ∠AOB'.  Кроме того, из параллельности сторон AD и BC прямоугольника следует, что  ∠AOB = ∠KAO.  Таким образом, в треугольнике AOK углы AOK и KAO равны, значит, этот треугольник равнобедренный:  OK = AK. Рассуждая аналогично, получим, что треугольник DOL – также равнобедренный. Следовательно,
OK = OL = KL,  то есть треугольник KOL – равносторонний.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада для 6-7 классов
год/номер
Номер	12 (2014 год)
Дата	2014-03-16
класс
Класс	7 класс
задача
Номер	7.7