Задача 64710

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Две пары подобных треугольников ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Гаркавый А.

В прямоугольнике ABCD точка M – середина стороны CD. Через точку C провели прямую, перпендикулярную прямой BM, а через точку M – прямую, перпендикулярную диагонали BD. Докажите, что два проведённых перпендикуляра пересекаются на прямой AD.

Решение 1

  Пусть продолжение перпендикуляра, опущенного на прямую BD из точки M, пересекает сторону AD в точке E (см. рис.). Мы хотим доказать, что прямые CE и BM перпендикулярны.

  Обозначим через F точку пересечения прямых ME и BC и посмотрим на треугольник BDF: в нём высоты DC и FE пересекаются в точке M. Значит, и прямая BM является высотой этого треугольника,  BM ⊥ DF.
  Но четырёхугольник CFDE является параллелограммом (треугольники EMD и FMC равны по катету и острому углу, поэтому отрезки CF и ED равны и параллельны). Следовательно, прямая BM, перпендикулярная DF, перпендикулярна и CE.

Решение 2

  Пусть  BC = a,  CM = MD = b,  перпендикуляр, опущенный из C на BM, пересекает AD в точке E₁, а перпендикуляр, опущенный из M на BD, пересекает AD в точке E₂ (см. рис.).

  Из равенства углов E₁CD и MBC следует подобие треугольников E₁CD и MBC, откуда  E₁D = ^2b²/_a.  Аналогично из подобия треугольников E₂MD и DBC следует, что  E₂D = ^2b²/_a.  Итак,  E₁D = E₂D,  то есть точки E₁ и E₂ совпадают.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2014
Номер	77
класс
Класс	8
задача
Номер	4