Условие
В треугольнике ABC отмечены середины сторон AC и BC – точки M и N соответственно. Угол MAN равен 15°, а угол BAN равен 45°.
Найдите угол ABM.
Решение 1
Продолжим отрезок MN на его длину в обе стороны и получим точки K и L (рис. слева). Так как M – общая середина отрезков AC и KN, то AKCN – параллелограмм. Значит, ∠CKM = 45°, ∠KCM = 15°. Отметим на отрезке CM точку P так, чтобы угол CKP был равен 15°. Тогда отрезок KP разобьёт треугольник KCM на два равнобедренных треугольника. Кроме того, ∠PMN = 60°, поэтому треугольник MPN – равносторонний. Треугольники PLN и PKM равны, треугольник CPL – равнобедренный и прямоугольный, CLBM – параллелограмм, следовательно, ∠ABM = ∠CLN = ∠CLP + ∠MLP = 75°.
Решение 2
Пусть G – точка пересечения медиан треугольника ABC, F – середина GB, треугольник GFO равносторонний, причём точки O и A лежат в одной полуплоскости относительно MB (рис. справа). Тогда ∠MOB = 120° = 2∠MAB, значит, O – центр описанной окружности треугольника MAB. При этом ∠MOG = 30° = 2∠MAG, поэтому лучи AG и OG проходят через одну точку описанной окружности треугольника AMB. Отсюда следует, что точки A, O и G лежат на одной прямой. Значит, ∠AMB = ∠MOA : 2 = 75°.
Ответ
75°.
Замечания
В решении 1 можно использовать тот факт, что построенная точка P – центр описанной окружности треугольника KCL.
