|
|
 |
Условие
На столе лежал проволочный треугольник с углами x°, y°, z°. Хулиган Коля согнул каждую сторону треугольника на один градус, в результате чего получился невыпуклый шестиугольник c внутренними углами (x – 1)°, 181°, (y – 1)°, 181°, (z – 1)°, 181°. Докажите, что точки сгиба делили стороны исходного треугольника в одном и том же отношении.
Решение
Превратим стороны полученного шестиугольника в векторы a, u, b, v, c, w, поставив на них стрелки в направлении обхода (обход начинается с вершины с углом 181°). При этом угол между векторами a и –u равен (x – 1)°, а угол между векторами w и a равен 1° (по условию). Значит, угол между векторами w и –u равен x°. Найдя таким образом углы между векторами w, u, v, видим, что углы между ними такие же, как и между векторами сторон исходного треугольника.
Заметим, что w + a + u + b + v + c = 0. Повернём вектор a на 1° так, чтобы он стал сонаправлен вектору w. Полученный вектор обозначим a'. Аналогично построим векторы b' и c'. Из векторов w + a', u + b' и v + c' составляется треугольник, равный исходному треугольнику ABC: эти векторы по модулю равны соответствующим сторонам треугольника ABC, и углы между ними такие, как в ABC. Следовательно, w + a' + u + b' + v + c' = 0. Сравнивая с предыдущим равенством, получаем
a + b + c = a' + b' + c'. Но в этом равенстве правая часть получается из левой поворотом на 1°. Значит, обе суммы равны нулю. Поэтому из векторов a', b', c' составляется треугольник. Этот треугольник подобен треугольнику ABC, так как имеет равные с ним углы. Таким образом, длины векторов a, b, c пропорциональны длинам сторон исходного треугольника, что и требовалось.
Замечания
8 баллов
