|
|
 |
Условие
Из некоторой точки D в плоскости треугольника ABC провели прямые, перпендикулярные к отрезкам DA, DB, DC, которые пересекают прямые BC, AC, AB в точках A1, B1, C1 соответственно. Докажите, что середины отрезков AA1, BB1, CC1 лежат на одной прямой.
Решение
Окружности с диаметрами AA1, BB1, CC1 проходят через основания соответствующих высот треугольника, поэтому степени ортоцентра H относительно всех трёх окружностей равны (согласно задаче 55463 они вдвое меньше степени ортоцентра относительно описанной окружности треугольника ABC). Следовательно, прямая DH является их общей радикальной осью и центры окружностей лежат на одной прямой.
Замечания
Применяя теорему Менелая к треугольнику ABC и треугольнику, образованному его средними линиями, нетрудно показать, что точки A1, B1, C1 также лежат на одной прямой.
