ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 64892
УсловиеЧетырёхугольник АВСD – вписанный. Лучи АВ и DС пересекаются в точке M, а лучи ВС и AD –
в точке N. Известно, что ВМ = DN. РешениеПусть ∠MBC = α, тогда ∠CDN = ∠ABC = 180° – α (рис. слева). Далее можно рассуждать по-разному. Первый способ. По теореме синусов в треугольниках ВСМ и DCN: и Так как Второй способ. "Отрежем" треугольник DСN и приложим его к треугольнику ВСМ, совместив равные отрезки DN и ВМ (рис. в центре). Так как Третий способ. Пусть описанная окружность треугольника ВСМ пересекает MN в точке Р (рис. справа). Тогда ∠NPC = ∠MBC = α, значит, точка Р лежит на описанной окружности треугольника DCN. Так как ВМ = DN и ∠ВСМ = ∠DCN, то радиусы этих окружностей равны. Углы CMN и CNM треугольника МСN опираются на равные дуги этих окружностей, поэтому эти углы равны. Следовательно, CM = CN. ЗамечанияТочка Р, полученная в третьем способе, называется точкой Микеля для прямых NA, NB, MA и MD. Через эту точку проходят также описанные окружности треугольников ANB и AMD. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|