Задача 64895

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Средняя линия треугольника ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Точки D, Е и F – середины сторон ВС, АС и АВ треугольника АВС соответственно. Через центры вписанных окружностей треугольников AEF, BDF и СDE проведена окружность. Докажите, что её радиус равен радиусу описанной окружности треугольника DEF.

Решение

  Заметим, что треугольник DEF подобен треугольнику АВС с коэффициентом  k = 0,5  (см. рис.). Обозначим центры вписанных окружностей треугольников AEF, BDF и СDE через A', B' и C' соответственно, тогда окружность, содержащая эти точки, описана около треугольника A'B'C'.

  Пусть I – центр вписанной окружности треугольника АВС. Треугольник AEF является образом треугольника АВС при гомотетии с центром А и коэффициентом  k = 0,5,  поэтому точка A' является образом точки I при этой гомотетии, значит, A' – середина отрезка АI. Аналогично, рассмотрев гомотетии с центрами В и С и коэффициентом
k = 0,5,  получим, что точки B' и C' – середины отрезков BI и CI соответственно. Следовательно, отрезки A'B', B'C' и C'A' – средние линии треугольников AIB, BIC и CIA. Таким образом, треугольник A'B'C' также подобен треугольнику АВС с коэффициентом  k = 0,5.  Значит, треугольники A'B'C и DEF равны, поэтому равны и радиусы их описанных окружностей.

Замечания

Для решения можно также использовать следующие факты:  1) описанная окружность треугольника DEF является окружностью девяти точек треугольника АВС;  2) стороны треугольника DEF соответственно параллельны сторонам треугольника АВС, так как равны радиусы вписанных окружностей треугольников AEF, BDF и СDE.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2014/15
класс
Класс	11
задача
Номер	11.3.2