|
|
 |
Условие
В равенстве х5 + 2x + 3 = pk числа х и k – натуральные. Может ли число р быть простым?
Решение
Заметим, что x5 + 2x + 3 = (x + 1)(x4 – x³ + x² – x + 3). При этом оба множителя больше единицы, а второй не меньше первого.
Если число р – простое, то x + 1 = pa, x4 – x³ +
x² – x + 3 = pb, где а и b – натуральные числа и b ≥ a. Тогда x4 – x³ + x² – x + 3 делится на x + 1. Значит, остаток от деления многочлена P(x) = x4 – x³ + x² – x + 3 на x + 1 делится на x + 1. По теореме Безу этот остаток равен P(–1) = 7. Следовательно, 7 делится на x + 1, то есть x = 6.
Подставив х = 6 в исходное равенство, получим: 7791 = pk. Но число 7791 не является степенью простого числа (оно делится на 3, но не делится на 9).
Ответ
Не может.
Замечания
Догадаться о том, что исходный многочлен делится на x + 1 можно с помощью теоремы Безу.
