Задача 65042

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

Условие

Автор: Долгирев П.

Дан треугольник ABC и прямая l. Прямые, симметричные l относительно AB и AC пересекаются в точке A₁. Точки B₁, C₁ определяются аналогично. Докажите, что
  а) прямые AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в одной точке;
  б) эта точка лежит на описанной окружности треугольника ABC ;
  в) точки, построенные указанным способом для двух перпендикулярных прямых, диаметрально противоположны.

Решение

  Заметим, что, когда прямая l движется параллельно себе с постоянной скоростью, прямые, симметричные l относительно AC и BC, также перемещаются параллельно себе с постоянной скоростью. Поэтому точка C₁ движется по прямой, проходящей через C, то есть точка пересечения CC₁ с описанной окружностью зависит только от направления прямой l. Пусть теперь A', B' – точки пересечения l с BC и AC (см. рис.). Тогда B'C – биссектриса одного из углов между прямыми B'C₁ и B'A', а A'C – биссектриса одного из углов между прямыми A'C₁ и A'B'. Значит, C – центр вписанной или вневписанной окружности треугольника A'B'C₁, то есть C₁C – биссектриса угла A'C₁B' или смежного с ним. Но угол между прямыми A'C₁ и B'C₁ не зависит от l, значит, не зависит от l и угол между CC₁ и C₁A'. Поэтому при вращении l с постоянной скоростью прямые AA₁, BB₁, CC₁ вращаются с той же скоростью, откуда следуют все три утверждения задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2011
тур
задача
Номер	16