|
|
 |
Условие
На столе лежит 10 кучек с 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10 орехами. Двое играющих берут по очереди по одному ореху. Игра заканчивается, когда на столе останется три ореха. Если это – три кучки по одному ореху, выигрывает тот, кто ходил вторым, иначе – его соперник. Кто из игроков может выиграть, как бы не играл соперник?
Решение 1
Назовём кучки из одного ореха единицами, а из двух – двойками. Первый может придерживаться следующей стратегии: 1) если на доске есть единицы – убрать одну из них; 2) не брать из двоек. В остальном ходы первого могут быть любыми. Число орехов в начале игры нечётно, значит, оно нечётно и перед любым ходом первого. Поэтому перед его ходом на доске всегда будет хотя бы одна нечётная кучка, то есть первый всегда сможет сделать ход, не нарушая описанных правил. Теперь заметим, что после первого хода первого на доске нет единиц. После хода второго может появиться не более одной новой единицы, которую первый заберёт. Значит, и после следующих ходов первого единиц на доске не будет, а после любого хода второго на доске будет не больше одной единицы. В частности, так будет и в конце игры, то есть первый выиграет.
Решение 2
Приведём другую выигрышную стратегию. Пусть каждым ходом первый берёт орех из самой маленькой кучки. Тогда после 21-го хода первого исчезнут не менее шести кучек. После ответного хода второго останется 13 орехов и не более четырёх кучек. Если кучек ровно 4, то в наименьшей не больше 3 орехов. Тогда после следующих 3 ходов первого и 3 ответных ходов второго будет 7 орехов не более чем в трёх кучках. Опять же, если кучек ровно три, то в наименьшей из них не более двух орехов. Значит, после ещё 2 ходов первого перед ходом второго останется 4 ореха не более чем в двух кучках, и первый выигрывает при любом ходе второго.
Ответ
Первый.
