Задача 65184

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Правильные многоугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Существует ли непрямоугольный треугольник, вписанный в окружность радиуса 1, у которого сумма квадратов длин двух сторон равна 4?

Решение

  Рассмотрим четырёхугольник ABCD, являющийся половиной правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса 1 (см. рис.).

  Имеем  АB = 1,  AС = ,  АB² + AC² = 4.

Ответ

Существует.

Замечания

  Есть и другие примеры.
  1) Впишем в окружность с диаметром  AD = 2  трапецию АВСD. Так как трапеция равнобедренная,  АС² + AB² = АС² + CD² = AD² = 4.
  2) Пусть  АВ = 2  – диаметр окружности, С – произвольная точка на окружности, тогда угол АСВ – прямой (см. рис.). Проведём диаметр CD и отразим отрезок ВС относительно него. Тогда в непрямоугольном треугольнике АСВ'  AC² + B'C² = AC² + BC² = АВ² = 4.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2014/15
класс
Класс	10
задача
Номер	10.5.2