|
|
 |
Условие
На сторонах AB, AC треугольника ABC взяли такие точки C1, B1 соответственно, что BB1 ⊥ CC1. Точка X внутри треугольника такова, что
∠XBC = ∠B1BA, ∠XCB = ∠C1CA. Докажите, что ∠B1XC1 = 90° – ∠A.
Решение 1
Пусть X1 – проекция точки X на прямую BC, а O – точка пересечения прямых BB1 и CC1. Тогда треугольник C1BO подобен треугольнику XBX1 по двум углам, значит, BC1 : BX = BO : BX1. Следовательно, подобны и треугольники BC1X и BOX1 – по углу и отношению прилежащих к нему сторон. Значит,
∠BXC1 = ∠BX1O.
Аналогично ∠B1XC = ∠OX1C (см. рис.). Поэтому
∠BXC1 + ∠CXB1 = ∠BX1O + ∠OX1C = 180°. Отсюда
∠C1XB1 = 180° – ∠BXC = ∠XBC + ∠XCB = ∠ABB1 + ∠ACC1 = ∠BOC – ∠BAC = 90° – ∠A.
Решение 2
Лемма. Если проекции точки P на стороны четырёхугольника ABCD лежат на одной окружности, то прямые, симметричные прямым AP, BP, CP и DP относительно биссектрис соответствующих углов, пересекаются в одной точке.
Доказательство. Так как проекции P на стороны лежат на одной окружности, точки K, L, M и N, симметричные P относительно AB, BC, CD и DA соответственно, также лежат на одной окружности Ω. Поскольку AK = AP = AN, серединный перпендикуляр к отрезку KN совпадает с биссектрисой угла KAN, которая симметрична AP относительно биссектрисы угла BAD. Следовательно, все четыре указанные в условии леммы прямые проходят через центр окружности Ω.
Рассмотрим четырёхугольник BCB1C1. Его диагонали по условию перпендикулярны. Согласно задаче 57028 проекции точки O их пересечения на стороны четырёхугольника лежат на одной окружности.
Прямые BX и CX симметричны прямым BB1 и CC1 относительно биссектрис углов B и C соответственно. Поэтому из леммы следует, что прямые B1X и C1X симметричны B1B и C1C относительно биссектрис углов CB1C1 и BC1B1 соответственно. Отсюда
∠B1XC1 = 180° – ∠XB1C1 – ∠XC1B1 = 180° – ∠CB1O – ∠BC1O = 180° – (90° + ∠A) = 90° – ∠A.
