Задача 65428

Тема:    [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Сумма неотрицательных чисел x₁, x₂, ..., x₁₀ равна 1. Найдите наибольшее возможное значение суммы  x₁x₂ + x₂x₃ + ... + x₉x₁₀.

Решение

  Воспользуемся известным неравенством  ab ≤ ¼ (a + b)².
  x₁x₂ + x₂x₃ + ... + x₉x₁₀ ≤ (x₁ + x₃ + … + x₉)(x₂ + x₄ + … + x₁₀) ≤ ¼ (x₁ + x₂ + ... + x₁₀)² = ¼.
  Равенство, например, достигается, если  x₁ = x₂ = ½,  x₃ = x₄ = ... = x₁₀ = 0.

Ответ

0,25.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2015/16
класс
Класс	9
задача
Номер	9.4.1