Задача 65620

Темы:    [ Числовые последовательности (прочее) ] [ Арифметическая прогрессия ] [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

У чисел 1000², 1001², 1002², ... отбрасывают по две последние цифры. Сколько первых членов полученной последовательности образуют арифметическую прогрессию?

Решение

  Общий член исходной последовательности имеет вид:  a_n = (10³ + n)² = 10⁶ + 2n·10³ + n²  (а₀ – первый член).
  Обозначим общий член полученной последовательности через b_n, тогда  .
  Следовательно, разность между соседними членами новой последовательности будет равна 20 до тех пор, пока  ,  то есть если  n² < 100.  Учитывая, что n – натуральное или ноль, получим:  0 ≤ n ≤ 9.  Значит, арифметическую прогрессию образуют 10 первых членов новой последовательности.

Ответ

10.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2015/16
класс
Класс	10
задача
Номер	10.5.1