Задача 65793

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Волчкевич М.А.

В четырёхугольнике ABCD  AB = CD,  M и K – середины BC и AD. Докажите, что угол между MK и AC равен полусумме углов BAC и DCA.

Решение

Построим параллелограммы ABMX и DCMY (см. рис.). Так как  AX = BM = MC = DY  и  AX || BC || DY,  то AXDY тоже параллелограмм, а K – его центр. Кроме того,   MX = AB = CD = MY,  следовательно, MK – медиана, а значит, и биссектриса равнобедренного треугольника XMY, что равносильно утверждению задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2016
тур
задача
Номер	5