|
|
 |
Условие
Обсуждая в классе зимние каникулы, Саша сказал: "Теперь, после того как я слетал в Аддис-Абебу, я встречал Новый год во всех возможных полусферах Земли, кроме одной!"
В каком минимальном количестве мест встречал Новый год Саша?
Места, где Саша встречал Новый год, считайте точками на сфере. Точки на границе полусферы не считаются принадлежащими этой полусфере.
Решение
Оценка. Предположим, что хватило трёх точек. Они определяют плоскость. Если она проходит через центр сферы, то Саша не бывал в двух полусферах, высекаемых этой плоскостью. Противоречие.
Если не проходит, то параллельной плоскостью отсечём полусферу, в которой Саша не бывал. Во всех полусферах, получаемых из неё малым шевелением, Саша тоже не бывал. Снова противоречие.
Пример. Возьмём на некоторой большой окружности три точки, образующие остроугольный треугольник, и любую точку вне её (это можно сделать так, что одной из точек будет город, в котором живёт Саша, а другой – Аддис-Абеба). Из двух полусфер, высекаемых этой окружностью, Саша не бывал ровно в одной. Если же провести через центр Земли другую плоскость, то она высечет диаметр в исходной окружности, по каждую сторону от которого будет точка, в которой Саша бывал.
Ответ
В четырёх местах.
Замечания
1. Пример единственный.
2. Для придир. Диаметрально противоположная к Аддис-Абебе точка находится в Тихом океане, и Саша там жить не может.3. 5 баллов.
Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Турнир городов |
| номер/год | |
| Номер | 41 |
| Год | 2019/20 |
| неизвестно | |
| Вариант | весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс |
| задача | |
| Номер | 2 |
