|
|
 |
Условие
На доске написано число 7. Петя и Вася по очереди приписывают к текущему числу по одной цифре, начинает Петя. Цифру можно приписать в начало числа (кроме нуля), в его конец или между любыми двумя цифрами. Побеждает тот, после чьего хода число на доске станет точным квадратом. Может ли кто-нибудь гарантированно победить, как бы ни играл соперник?
Решение
На первом ходу Вася не проиграет, так как нет двузначных квадратов с цифрой 7. Покажем, что далее каждый может приписать в конец текущего числа 2 или 3 так, чтобы соперник не выиграл следующим ходом.
Пусть у нас было число $A$ и соперник может сделать квадрат, приписав цифру как к числу $\overline{A2}$, так и к числу $\overline{A3}$. Поскольку точные квадраты не оканчиваются ни на 2, ни на 3, он припишет цифру в конец: скажем, $x$ в первом случае и $y$ – во втором. Тогда оба числа A2x
и A3y – точные квадраты, разность между которыми меньше 20. Но каждое из этих чисел хотя бы трёхзначно, и тогда разность между соседними точными квадратами не меньше $11^2 - 10^2$ > 20. Противоречие.
Ответ
Не может.
Замечания
8 баллов
