Задача 73564

Темы:    [ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Композиции поворотов ] [ Обратные тригонометрические функции ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Условие

n одинаковых монет лежат на столе, образуя замкнутую цепочку. Центры монет образуют выпуклый многоугольник. Сколько оборотов сделает монета такого же размера за время, пока она один раз прокатится по внешней стороне всей цепочки, как показано на рисунке?

Как изменится ответ, если радиус этой монеты в k раз больше радиуса каждой из монет цепочки?

Решение

Примем радиус монет, составляющих цепочку, за единицу. Из рис.3 видно, что за то время, пока монета радиуса k прокатится по дуге α неподвижной окружности радиуса 1 , она повернется на угол α (1+1/k) : на этом рисунке радиусы MA и M'A'' параллельны, A'' M' B= AOB= α и, поскольку дуги A'B и AB равны по длине, BMA'=α/k , следовательно, весь угол A'' M' A' , на который повернулась монета M , равен α+α/k (в частности, при k=1 этот угол равен 2α ). Теперь найдем сумму дуг, состоящих из таких точек неподвижных монет, которых монета M касалась при качении по цепочке. Пусть O₁, O₂, ... O_n – центры монет цепочки. Сумма дуг, лежащих внутри многоугольника O₁ O₂ ...O_n равна сумме его внутренних углов, т.е. π(n-2) . Сумма дуг, лежащих вне многоугольника, следовательно, равна 2π n-π (n-2)= π (n+2) . Из нее нужно вычесть еще сумму дуг, лежащих в углублениях между двумя соседними монетами, в которые M не попадает. В каждом из n углублений сумма двух таких дуг равна 2π/3 при k=1 (рис. 4 а ) и 2 arccos 1/(k+1) в общем случае (рис. 4 б ). Итак, сумма дуг, по которым прокатится монета M , равна π(n+2)-2π n/3 (в общем случае π(n+2)-2n arccos 1/(k+1) ). Чтобы узнать исковое число оборотов, нужно умножить эту величину на 2 (в общем случае, на 1+1/k ) и разделить на 2π . Ответ. ( n/3+2) оборота при k=1 ; (k+1)/2k (n- 2/π n arccos 1/(k+1)+2) оборота в общем случае ( n 3 ). В этом решении мы использовали (подсчитывая "потери" в углублениях между монетами) то, что монета M прокатывается по всем n монетам подряд, без исключения. Это условие необходимо для того, чтобы задача имела определенный ответ. Для цепочек с "узкими просветами" (см.рис.), разумеется, нельзя только по числу n узнать, на сколько повернется монета M . Достаточным, но не необходимым условием, чтобы задача была разрешимой, является следующее: многоугольник O₁ O₂ ...O_n выпуклый. Подумайте, как подучить ответ, если вместо замкнутой цепочки имеется просто одна монета, две касающиеся друг друга монеты и вообще незамкнутая цепочка из n монет O₁, O₂, ... O_n , в которой O_k касается O_k+1 , расположенных так, что M может прокатиться туда и обратно по всем монетам в таком порядке: O₁, O₂, ... O_n-1, O_n , O_n-1, ... O₁ (см. рис.) (Указание: Достаточно в написанных выше формулах заменить n на 2n-2 .)

Ответ

( [n/3]+2) оборота при k=1; [(k+1)/2k] (n- [2/(π)] n  arccos [1/(k+1)]+2) оборота в общем случае (n >= 3).

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1970
выпуск
Номер	6
Задача
Номер	М29