Условие
На плоскости нельзя расположить семь прямых и семь точек так, чтобы через каждую из точек проходили три прямые и на каждой прямой лежали три точки. Докажите это.
Решение
Предположим, что такое расположение семи точек и семи прямых существует.
Прежде всего докажем, что каждые две из данных точек лежат на одной из
данных прямых. Действительно, если
A – одна из этих точек, то через
A проходят три прямые, и на каждой из них лежит по две из данных точек
(не считая
A ); тем самым
A и любая из шести точек, отличных от
A ,
лежат на одной из данных прямых. Точно так же доказывается, что каждые
две из данных прямых пересекаются в одной из данных точек: если
a –
одна из прямых, то через каждую из трех лежащих на ней точек проходит по
две прямые (не считая
a ), и поэтому каждая из этих прямых пересекается
с
a в одной из данных точек.
Ниже дана подпись к рис.2 и 3
Рис.2. Выпуклой оболочкой множества из конечного числа точек является
выпуклый многоугольник с вершинами в некоторых из этих точек (или отрезок,
если все точки лежат на одной прямой).
Рис.3. Эта конфигурация почти полностью удовлетворяет требованиям задачи
М36, только одну "прямую" пришлось изогнуть.
Источники и прецеденты использования
