Задача 73668

Тема:    [ Формула Эйлера. Эйлерова характеристика ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Условие

Автор: Маресин В.

Один из простейших многоклеточных организмов — водоросль вольвокс — представляет собой сферическую оболочку, сложенную, в основном, семиугольными, шестиугольными и пятиугольными клетками (то есть клетками, имеющими семь, шесть или пять соседних; в каждой «вершине» сходятся три клетки). Бывают экземпляры, у которых есть и четырёхугольные, и восьмиугольные клетки, но биологи заметили, что если таких «нестандартных» клеток (менее чем с пятью и более чем с семью сторонами) нет, то пятиугольных клеток на 12 больше, чем семиугольных (всего клеток может быть несколько сотен и даже тысяч). Не можете ли вы объяснить этот факт?

Решение

Утверждение задачи следует из формулы Эйлера. (О формуле Эйлера смотрите "Квант" #4, 1972 или Курант и Роббинс "Что такое математика?" М., "Просвещение", 1967). Действительно, обозначим число вершин вольвокса через B , число ребер– через P , а число граней с i вершинами – через Σ_i . Тогда по формуле Эйлера

2=B-P+Σ Γ_i. Но 3B=Σ_i Γ_i , поскольку, по условию, в каждой вершине сходятся три грани, а 2P=Σ_i Γ_i – к каждому ребру примыкают две грани. Следовательно,
12=6B-6P+6 Σ Γ_i=Σ2i Γ_i-Σ3i Γ_i +Σ₆ Γ_i=Σ (6-i) Γ_i. По условию, нестандартных граней нет, т.е. Γ₃=Γ₄=Γ₈= Γ₉=...=0 . Поэтому Γ₅ - Γ₇=12 – в замечательном соответствии с наблюдениями биологов.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1972
выпуск
Номер	3
Задача
Номер	М133