Задача 76507

Тема:    [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Найти трёхзначное число, всякая целая степень которого оканчивается на три цифры, составляющие исходное число (в том же порядке).

Решение

Ответ: 376 и 625. Пусть N — искомое число. Тогда N² - N = N(N - 1) делится на 1000. Числа N и N - 1 взаимно простые, поэтому одно из них делится на 8, а другое на 125. Пусть сначала N = 125k. Тогда k8. Среди чисел 125k - 1, k = 1,..., 8, только число 624 делится на 8. Пусть теперь N - 1 = 125k. Тогда N = 125k + 1, поэтому k7. Среди чисел 125k + 1, k = 1,..., 7, только число 376 делится на 8. Если N² - N = N(N - 1) делится на 1000, то N^k - N = N(N^{k - 1} - 1) тоже делится на 1000, поскольку N^{k - 1} - 1 делится на N - 1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	8
Год	1945
вариант
Класс	9,10
Тур	1
задача
Номер	2