Задача 76542

Темы:    [ Приближения чисел ] [ Произведения и факториалы ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Вычислить с пятью десятичными знаками (то есть с точностью до 0,00001) произведение:  

Решение

  Пусть  a = (1 – 10^–1)(1 – 10^–2)...(1 – 10^–5)  и  b = (1 – 10^–6)...(1 – 10^–99).  Непосредственные вычисления показывают, что
0,89001 + 10^–6 < a < 0,89001 + 2·10^–6.
  Ясно, что  b < 1 – 10^–6.  Кроме того, если  0 < x, y < 1,  то  (1 – x)(1 – y) > 1 – x – y.  Поэтому  b > 1 – 10^–6 – 10^–7 – ... – 10^–99 > 1 – 2·10^–6.  Следовательно,  ab < 0,890012·0,999999 < 0,890012,  ab > 0,890011·0,999998 > 0,890009.

Ответ

0,89001.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	10
Год	1947
вариант
Класс	9,10
Тур	1
задача
Номер	2