Информация о задаче

Задача 76550

Темы:	[	Наглядная геометрия в пространстве	]
	[	Правильные многогранники	]
	[	Перебор случаев	]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

k проволочных треугольников расположены в пространстве так, что: 1) каждые 2 из них имеют ровно одну общую вершину, 2) в каждой вершине сходится одно и то же число p треугольников. Найдите все значения k и p, при которых указанное расположение возможно.

Решение

Ответ: (k, p) = (1, 1), (4, 2) или (7, 3). Сначала докажем, что p $\le$ 3. Предположим, что p $\ge$ 4. Возьмём треугольник $\Delta_{1}^{}$ . К его вершине A примыкает треугольник $\Delta_{2}^{}$ . К вершине B $\ne$ A треугольника $\Delta_{2}^{}$ примыкают треугольники $\Delta_{3}^{}$ , $\Delta_{4}^{}$ , $\Delta_{5}^{}$ ; все они отличны от $\Delta_{1}^{}$ , поскольку иначе треугольники $\Delta_{1}^{}$ и $\Delta_{2}^{}$ имели бы две общие вершины. По условию каждый из треугольников $\Delta_{3}^{}$ , $\Delta_{4}^{}$ , $\Delta_{5}^{}$ имеет общую вершину с треугольником $\Delta_{1}^{}$ , причём эта вершина отлична от A. Но из этого следует, что два из треугольников $\Delta_{3}^{}$ , $\Delta_{4}^{}$ , $\Delta_{5}^{}$ имеют общую вершину, отличную от B. Если p = 1, то k = 1 (если бы было хотя бы 2 треугольника, то они имели бы общую вершину, а тогда p $\ge$ 2). Пусть в каждой вершине сходятся p $\ge$ 2 треугольников. Фиксируем один из треугольников. К каждой его вершине примыкает p - 1 треугольников, т.е. всего к нему примыкает 3(p - 1) треугольников. Все эти треугольники различны, и других треугольников нет, поскольку любые два треугольника должны иметь общую вершину. Значит, всего получаем 3(p - 1) + 1 = 3p - 2 треугольников. Чтобы построить конфигурацию, для которой (k, p) = (4, 2), можно взять октаэдр и выбросить половину его граней, оставив только треугольники, не имеющие общих сторон. Чтобы построить конфигурацию, для которой (k, p) = (7, 3), можно взять тетраэдр, поместить внутрь его треугольник ABC и для каждой вершины треугольника ABC взять треугольник, образованный этой вершиной и одним из двух несмежных рёбер тетраэдра (для каждой вершины треугольника ABC берётся своя пара несмежных рёбер тетраэдра).

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	10
Год	1947
вариант
Класс	9,10
Тур	2
задача
Номер	2