Условие
Дан произвольный центрально-симметричный шестиугольник. На его сторонах, как на
основаниях, построены во внешнюю сторону правильные треугольники. Доказать, что
середины отрезков, соединяющих вершины соседних треугольников, образуют
правильный шестиугольник.
Решение
Пусть
K,
L,
M и
N — вершины правильных треугольников,
построенных на сторонах
BC,
AB,
AF и
FE;
B1,
A1 и
F1 —
середины отрезков
KL,
LM и
MN (рис.???). Пусть, далее,
=
=
,
=
и
=
;
R —
поворот на
60
o, переводящий вектор
в
. Тогда
= -
R2 и
= -
R2. Поэтому
2
=
R2 +
R +
и
2
=
R2 -
+
R, т. е.
=
R(
).
Источники и прецеденты использования
