Задача 78296

Темы:    [ Признаки и свойства касательной ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

Условие

Две окружности O₁ и O₂ пересекаются в точках M и P. Обозначим через MA хорду окружности O₁, касающуюся окружности O₂ в точке M, а через MB — хорду окружности O₂, касающуюся окружности O₁ в точке M. На прямой MP отложен отрезок PH = MP. Доказать, что четырёхугольник MAHB можно вписать в окружность.

Решение

Пусть O₁, O₂, r₁, r₂ – центры и радиусы данных окружностей. Проведём перпендикуляры из точек O₁ и O₂ к хордам AM и BM соответственно и обозначим через R их точку пересечения. Если мы докажем, что RP MP, то отсюда последует равенство MR = RH, и мы докажем тем самым, что R есть центр окружности, описанной около четырёхугольника AMBH (так как AR = MR и BR = MR по построению). Итак, необходимо показать, что RP MP. Заметим, что O₂M AM (так как O₂M — радиус, проведённый в точку касания), и, значит, O₂M || O₁R. По той же причине O₁M || O₂R. Но тогда O₂MO₁R — параллелограмм, и потому O₂R = O₁M и O₁R = O₂M. Это значит, что точка R лежит на пересечении окружностей с центрами O₁ и O₂, имеющих радиусы r₂ и r₁ соответственно. Из очевидной симметрии ясно теперь, что RP || O₁O₂, т. е. RP MP, что и требуется.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	25
Год	1962
вариант
	1
Класс	8
Тур	2
задача
Номер	5