|
|
 |
Условие
Школьник в течение учебного года должен решать ровно по 25 задач за каждые идущие подряд 7 дней. Время, необходимое на решение одной задачи (любой), не меняется в течение дня, но меняется в течение учебного года по известному школьнику закону и всегда меньше 45 минут. Школьник хочет затратить на решение задач в общей сложности наименьшее время. Доказать, что для этого он может выбрать некоторый день недели и в этот день (каждую неделю) решать по 25 задач.
Решение
Пусть a1, a2, ..., a7, a8 – число задач, решённых школьником за некоторые идущие подряд 8 дней. По условию: a1 + a2 + ... + a7 = 25, a2 + a3 + ... + a8 = 25, откуда a1 = a8. Итак, число задач, решаемых школьником за день, должно повторяться через каждые 7 дней. Школьнику, таким образом, нужно выбрать не некоторый "общий план", а лишь "план на неделю".
Пусть a1, a2, ..., a7 – произвольный план на неделю. Это значит, что каждый понедельник школьник решает a1 задач, каждый вторник – a2 задач и т.д. Если бы школьник решал все 25 задач в понедельник, то он истратил бы на все задачи в течение учебного года некоторое время, которое обозначим через S1. Точно так же определены числа S2, S3, ..., S7. Решая по понедельникам не 25, а a1 задач, школьник за все понедельники, очевидно, потратит время, равное 1/25 a1S1. Точно так же, за все вторники он потратит время 1/25 a2S2 и т. д. Общее затраченное школьником время равно, таким образом:
S = 1/25 (a1S1 + a2S2 + ... + a7S7).
При этом, по условию, a1 + a2 + ... + a7 = 25.
Ясно теперь, что, выбрав из чисел S1, S2, ..., S7 наименьшее и полагая соответствующий коэффициент ak равным 25, а остальные – нулю, мы добьёмся того, что S станет минимальным.
