Информация о задаче

Задача 78473

Тема:

[

Площадь четырехугольника

]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Даны выпуклый четырёхугольник ABCD площади s и точка M внутри него. Точки P, Q, R, S симметричны точке M относительно середин сторон четырёхугольника ABCD. Найти площадь четырёхугольника PQRS.

Решение

Ответ:2s. Площадь четырёхугольника PQRS в 4 раза больше площади четырёхугольника, образованного серединами сторон четырёхугольника ABCD. Пусть P₁, Q₁, R₁, S₁ — середины сторон AB, BC, CD, DA. Тогда S_P₁BQ₁ + S_R₁DS₁ = ${\frac{1}{4}}$ S_ABC + ${\frac{1}{4}}$ S_ADC = ${\frac{1}{4}}$ s и S_Q₁CR₁ + S_P₁AS₁ = ${\frac{1}{4}}$ s. Поэтому S_{P₁Q₁R₁S₁} = s - S_P₁BQ₁ - S_R₁DS₁ - S_Q₁CR₁ - S_P₁AS₁ = ${\frac{1}{2}}$ s.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	26
Год	1963
вариант
	1
Класс	8
Тур	1
задача
Номер	2