Задача 78650
|
|
 |
Условие
Число 4 обладает тем свойством, что при делении его на q² остаток получается меньше q²/2, каково бы ни было q.
Перечислить все числа, обладающие этим свойством.
Решение
Докажем сначала, что если n – натуральное число, отличное от 1 и 4, то n < []². Действительно, для чисел n ≤ 7 это утверждение легко проверяется, а если n ≥ 8, то n² ≥ 8n, поэтому n ≥ 2
, а значит, [
]² ≥ (
– 1)² = 2n – 2
+ 1 > n.
Пусть n – натуральное число, отличное от 1 и 4. Положим q = []. Тогда n < q², поэтому остаток от деления n на q² равен n. Но q = [
] ≤
, поэтому n² ≥ q/2.
Ответ
1 и 4.
