Задача 86502

Темы:    [ Тождественные преобразования ] [ Неравенство Коши ] [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Укажите все пары  (x; y),  для которых выполняется равенство   (x⁴ + 1)(y⁴ + 1) = 4x²y².

Решение 1

x⁴y⁴ + x⁴ + y⁴ + 1 – 4x²y² = 0   ⇔   (x⁴y⁴ – 2x²y² + 1) + (x⁴ – 2x²y² + y⁴) = 0   ⇔   (x²y² – 1)² + (x² – y²)² = 0.  Значит,  x²y² = 1,  x² = y²,  то есть  |x| = |y| = 1.

Решение 2

(x⁴ + 1)(y⁴ + 1) ≥ 2x²·y² = 4x²y²,  причем равенство достигается тогда и только тогда, когда  x² = y² = 1.

Ответ

(1, 1),  (–1. –1),  (1, –1),  (–1, 1).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2000/01
класс
Класс	8
задача
Номер	3.1