Задача 86978

Темы:    [ Расстояние между скрещивающимися прямыми ] [ Куб ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром a . Найдите расстояние между прямыми A1D и D1C и постройте их общий перпендикуляр.

Решение

Рассмотрим сечения данного куба плоскостями CD1B1 и A1BD (рис.1). Эти плоскости параллельны, т.к. две пересекающиеся прямые CD1 и B1D1 одной из них соответственно параллельны прямым BA1 и BD . Прямая AC1 перпендикулярна B1D1 , т.к. её ортогональная проекция A1C1 на плоскость A1B1C1D1 перпендикулярна прямой B1D1 . Аналогично, AC1 CD1 . Поэтому прямая AC1 перпендикулярна плоскости CB1D1 , а значит, и плоскости A1BD . Кроме того, известно, что диагональ AC1 проходит через точки E и F пересечения медиан треугольников CD1B1 и A1BD и делится этими точками на три равные части. Поэтому расстояние между скрещивающимися прямыми A1D и D1C равно длине отрезка EF . Поскольку диагональ куба с ребром a , равна a ,

EF = AC1 = .
При ортогональном проектировании треугольника A1BD на плоскость треугольника CD1B1 (рис.2) центр F треугольника A1BD переходит в центр E треугольника CD1B1 , а треугольник A1BD переходит в равный ему равносторонний треугольник A'B'D' с центром E , причём стороны этого треугольника соответственно параллельны сторонам треугольника CD1B1 . Пусть X – точка пересечения CD1 и A'D' , а Y – точка на отрезке A1D , которая при рассматриваемом проектировании перешла в точку X . Тогда XY – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых A1D и D1C . Ясно, что = = 2 .

Пусть X – точка на диагонали A1D квадрата AA1D1D , Y – на диагонали CD1 квадрата CC1D1D , причём = = . Рассмотрим векторы = , = , = . Тогда
= - + , = - + ,

= + + = + + =

= (- + ) + + (- + ) = + + ,

· = ( + + )· (- + ) = a2 - a2 = 0,

· = ( + + )· (- + ) = - a2 + a2 = 0.
Следовательно, XY A1D и XY CD1 . Поэтому XY – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых A1D и CD1 и
XY = = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7175