Задача 87003

Темы:    [ Свойства сечений ] [ Линейные зависимости векторов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Через вершину правильной четырёхугольной пирамиды и середины двух соседних сторон основания проведена плоскость. Найдите площадь полученного сечения, если сторона основания пирамиды равна a , а боковое ребро равно 2a .

Решение

Пусть M и N – середины сторон соответственно AB и BC основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды PABCD , причём AB = a , AP =2a ; O – центр квадрата ABCD , K – точка пересечения MN и BD . Тогда OK – ортогональная проекция наклонной PK на плоскость ABCD и OK MN . По теореме о трёх перпендикулярах PK MN , т.е. PK – высота треугольника PMN . Поскольку MN – средняя линия треугольника ABC ,

MN = AC = a, OK = OB = BD = a.
По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников AOP и POK находим, что
OP = = = a,

PK = = = a.
Следовательно,
S_{Δ PMN} = MN· PK = · a· a = a2.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7207