|
|
 |
Условие
На плоскости даны три точки A, B, C. Через точку C проведите прямую так, чтобы произведение расстояний от этой прямой до A и B было максимальным. Всегда ли такая прямая единственна?
Решение
Если точка C лежит на прямой AВ, то искомая прямая, очевидно, перпендикулярна АВ.
Пусть C не лежит на AВ. Можно считать, что CA = CВ (сдвиг точки A по лучу CA умножает все произведения на одно и то же число). Проведём через точку C прямую, пересекающую отрезок AВ в точке K. Произведение расстояний не превосходит
AK·KB ≤ ¼ (AK + KB)² = ½ AB², причём неравенство превращается в равенство, когда K – середина AB (в этом случае оба расстояния равны ½ AB).
Для прямых, проходящих через и не пересекающих AВ, точно также доказывается, что максимум произведения расстояний равен ¼ AD², где D – точка, симметричная B относительно C. Заметим, что AB < AD тогда и только тогда, когда угол ACВ – острый.
Итак, искомая прямая – биссектриса угла ACВ, если он тупой, и перпендикуляр к ней, если он острый. Если угол ACВ – прямой, то годятся обе эти прямые.
Ответ
Решение не единственно в случае, когда угол ACB – прямой.
Замечания
5 баллов
