|
|
 |
Условие
Точка O лежит на диагонали AC выпуклого четырёхугольника ABCD. Известно, что OC = OD и что точка O одинаково удалена от прямых DA, AB и BC. Найдите углы четырёхугольника, если ∠AOB = 110° и ∠COD = 90°.
Решение
Из условия следует, что COD – равнобедренный прямоугольный треугольник, а AO и BO – биссектрисы соответственно углов A и B четырёхугольника. Пусть OE и OF – перпендикуляры, опущенные из точки O на прямые AD и BC.
Поскольку точка O равноудалена от прямых DA и BC, то OF = OE. Поэтому прямоугольные треугольники OFC и OED равны по гипотенузе и катету. Далее можно рассуждать по разному.
Первый способ. ∠ADO = ∠BCO, значит, ∠ADС = ∠BCD. Так как ∠A + ∠B = 2∠BAO + 2∠AВO = 2∠BOС = 2(180° – 110°) = 140°, то
∠ADС = ½ (360° – 140°) = 110°. Отсюда ∠ADO = 110° – 45° = 65°, ∠BAO = ∠DAO = 90° – 65° = 25°, ∠ABO = 70° – 25° = 45°.
Второй способ. ∠BOC = ∠DAO = ∠EAO, значит, AB || OF, то есть AB ⊥ BC. Следовательно, ∠BAO = 70° – ½ ∠ABO = 25°,
∠ADС = ∠EDO + ∠СDO = (90° – 25°) + 45° = 110°. Аналогично находится угол BСD.
Ответ
50°, 90°, 110°, 110°.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 3624 |
