Задача 101891

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Точка X лежит на его стороне AD, причём  BX || CD  и  CX || BA.  Найдите BC, если  AX = ³/₂  и  DX = 6.

Подсказка

Треугольники ABC, BXC и XCD подобны.

Решение

 Обозначим углы при вершинах A, B и X треугольника ABX через α, β и γ соответственно. Поскольку   CX || BA  и  BX || CD,  то
∠DCX = ∠BXC = ∠ABX = β,   ∠CDX = ∠BXA = γ  и  ∠CXD = ∠BAX = α.
 ∠CBA = 180° – ∠CDA = 180° – γ = α + β,  а так как  ∠ABX = β,  то  ∠CBX = α.  Таким образом, треугольники ABC, BXC и XCD подобны. Перемножив почленно равенства  BC : AX = CX : BX  и  BC : DX = BX : CX,  получим  BC² = AX·DX = 9.

Ответ

3.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3630