Задача 101897

Темы:    [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В выпуклом шестиугольнике ABCDEF все внутренние углы при вершинах равны. Известно, что AB = 3, BC = 4, CD = 5 и EF = 1. Найдите длины сторон DE и AF.

Подсказка

Пусть прямые AF и BC пересекаются в точке K, прямые BC и DE — в точке L, прямые AF и DE — в точке M. Треугольники AKB, CLD, EMF и KLM — равносторонние.

Решение

Пусть прямые AF и BC пересекаются в точке K, прямые BC и DE — в точке L, прямые AF и DE — в точке M. Поскольку сумма внутренних углов выпуклого шестиугольника равна 180^o(6 - 2) = 720^o и все эти углы равны, то каждый из них равен 120^o. Тогда треугольники AKB, CLD, EMF и KLM — равносторонние. Поэтому

AK = KB = AB = 3, CL = LD = CD = 5, EM = MF = EF = 1,

 KM = ML = KL = KB + BC + CL = 3 + 4 + 5 = 12.

Тогда

DE = ML - ME - DL = 12 - 1 - 5 = 6, AF = KM - AK - MF = 12 - 3 - 1 = 8.

Ответ

6 и 8.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3636