Задача 102241

Темы:    [ Признаки подобия ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Хорды и секущие (прочее) ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

На одной стороне угла O взяты точки K, L, M, а на другой – точки P, Q, R так, что  KQ ⊥ PR,  PL ⊥ KM,  LR ⊥ PQ,  QM ⊥ KL.  Отношение расстояния от центра описанной вокруг четырёхугольника KPRM окружности до точки O к длине отрезка KP равно ¹⁷/₆. Найдите величину угла O.

Подсказка

Четырёхугольник KPRM – равнобедренная трапеция.

Решение

  Пусть искомый угол равен α. Из прямоугольных треугольников OMQ, OKQ, ORL и OLP находим, что     откуда  OK : OM = OP : OR,  поэтому треугольники OKP и OMR подобны. Значит,  KP || MR,  и вписанный четырёхугольник KPRM – равнобедренная трапеция. Поскольку треугольники OKP и OMR – равнобедренные, то центр T указанной окружности лежит на биссектрисе данного угла.
  Обозначим  KP = x.  Пусть A – проекция точки T на хорду PR. Тогда A – середина PR, поэтому    
  По условию  ^OT/_KP = ¹⁷/₆.  Из уравнения     находим, что  sin α = ⅓.

Ответ

arcsin ¹/₃.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3668